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手把手带你实现跳表

引入

跳表(跳跃表)能够维护一个数的集合(作用类似普通平衡树),查找时间复杂度为 \(\Theta(\log n)\),与平衡树一样基于链表结构。由于不需要平衡树那么多旋转什么的,所以效率比较高,一般认为性能能打红黑树。除此以外,链表的特性使它能够以线性时间遍历某个子段。Redis 的有序集合就是用跳表实现的。

更简单来说,跳表是一个支持 \(\Theta(\log n)\) 时间随机访问的链表。

定义

上面这个东西叫链表。

我们知道,链表只支持线性时间访问,所以不能二分。我们如果想维护一个有序序列的话,虽然插入删除很快,但是找到一个值对应的位置很慢。

我们又知道,链表的访问形式实际上是一个一个遍历,而它有 \(n\) 个元素,这是它 \(\Theta(n)\) 复杂度随机访问的根源所在。

那我们是不是可以给链表精简一下呢?比如说,我给链表多加几层,每层减少一半的元素,像这样:

(蓝色方框括起来的是一个节点,实现的时候我们不需要把上面几层显式地建出来,只需要创建对应层的指针即可。)

这样的话,我就能像上图这样找到 \(78\) 这个节点了。

橙色路径是原有路径,走了 \(4\) 次。而上面的绿色路径只走了 \(\log_2 4 = 2\) 个次。好好好,那我这样建的话,我就能在链表上二分了!
实际上这个东西叫完美跳表。

跳表分两种,一种是上面的完美跳表(暂且这样叫)。这个东西最大的特点就是过于理想化了。如果加上插入删除的话,维护对应层的指针就太难了,每次都得更新。

另一种是基于随机化的跳表。
要随机化的东西叫做 \(level\)。一个跳表节点的 \(level\),代表着这个节点同时存在于 \(1 \sim level\) 层的链表中。比如说,上图的值为 \(1\) 的节点 \(level = 3\),值为 \(23\) 的节点 \(level = 1\)
\(level\) 的方式类似于抛硬币,计算 \(level\) 时,如果硬币正面朝上,就 \(+1\) 并继续抛;如果反面朝上,则停止。通过这样定下节点 \(level\) 的跳表就是我们今天要实现的跳表。

基本实现

为了方便演示,这里就不再封装跳表了,其实跟着教程一边走一边封装也是可行的。

一些变量

int level 记录跳表的最高 level。

Node head 为了防止过多的边界的分类讨论,建立一个空结点当头节点。

节点

动态分配内存太慢了,如果用动态分配的,我还不如直接 STL。

所以开好数组作为预分配的空间,然后我们可以开一个指针记录分配到了哪一个位置。需要创建新节点的时候直接返回一个 ++tot 即可。

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struct Node {
int key, level;
Node* nxt[MAX_LEVEL];
} space[N], *tot = space;
注意

此处 level 的含义是:该节点存在于 0 到level-1 层的链表中,与前文定义 1 到 level不同。

垃圾回收可以自己实现,待会的整体演示里面会放。

分配一个新节点空间,返回新节点的指针:

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#define new_node() (++tot)

创建一个值为 key 高度为 level 的节点:

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Node* create_node(int level, int key) {
Node* res = new_node();
res->level = level;
res->key = key;
return res;
}

随机生成 level

前面说了,是抛硬币。

所以我们可以直接借用一些随机数生成器1

然后我们肯定不能让层数无限大啊,所以需要设置一个 MAX_LEVEL 作为最大层数。

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#define MAX_LEVEL 12

std::random_device seed;
std::minstd_rand rng(seed());

int random_level() {
int res = 1;
while (res < MAX_LEVEL && (rng() & 1)) {
++res;
}
return res;
}

插入节点

声明:

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void insert(int key);

三步走:找到需要插入的位置,插入节点,更新对应 level 的链表。

首先我们直接从高 level 开始跳,跳不了了就跳低一级的 level 即可找到需要插入的位置。
同时记录每一个 level 的当前位置之前的节点。(即可能需要更新后向指针的节点)。

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Node *cur = head;  // current

for (int lev = level - 1; lev != -1; --lev) {
while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key)
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
update[lev] = cur;
}

细节:可能当前 level 还没有到跳表可能达到的最高 level,但是当前这个节点随机到的 level 值在这两个数中间,所以需要将 levelMAX_LEVEL 这段补全为 head

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int lev = random_level(); // 当前节点的 level 值
if (lev > level) {
for (int i = level; i < lev; ++i)
update[i] = head;

level = lev;
}

创建节点:

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cur = create_node(lev, key);

执行插入操作,即对于每一层链表,更新前一个节点的指针,并让当前节点的后向指针指向后一个节点。

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for (int i = lev - 1; i > -1; --i) {  // 普通链表插入操作
cur->nxt[i] = update[i]->nxt[i];
update[i]->nxt[i] = cur;
}

删除节点

和插入类似。

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void erase(int key) {
nodePointer cur = head; // current

for (int lev = level - 1; lev != -1; --lev) {
while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key)
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
update[lev] = cur;
}

cur = cur->nxt[0];
for (int i = 0; i < level; ++i)
if (update[i]->nxt[i] == cur)
update[i]->nxt[i] = cur->nxt[i];
else
break;

while (level > 1 && !head->nxt[level - 1]) // 更新当前最大层数
--level;
}

额外要注意的是,可能跳表的最高层就这一个节点,删了就没了,所以要判断并更新最大层数。

查找结点

实际上上面两个函数的第一部分就相当于查找。

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bool find(int key) {
Node* cur;

for (int lev = level - 1; lev > -1; --lev)
while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key)
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳

return cur->nxt[0] ? cur->nxt[0]->key == key : false;
}

查找前驱后继的方法也差不多,前驱就是查找后直接返回 cur 而不是 cur->nxt[0],后继可以跳到 cur->nxt[lev]->key <= key 的位置之后返回 cur->nxt[0]->key。最后的代码中有体现。

随机访问

上面其实已经实现了跳表的基本功能了,但是显然,目前实现的功能都可以用平衡树替代,而且平衡树还能够按照数的排名查询。

由于维护的是有序序列,所以按照数的排名查询相当于随机访问。

接下来我们来实现跳表的随机访问。具体方法:维护每个后向指针的“跨度”(span),即它跳了几个节点。

形式化定义

设指针 \(ptr\) 从第 \(a\) 个节点指向第 \(b\) 个节点,则 \(ptr\) 的跨度为 \(b-a\)

除此以外,我们还需要维护一个长度 length,在每次 eraseinsert 的时候加减一下就好了。

重写智能指针

啥是智能指针?不太清楚,但是我感觉维护一个 span 的指针实在太智能了!

我们需要给指针记录一个“跨度”,那就维护一个结构体作为指针,存原来的裸指针和跨度。

总的来说,需要构造函数并重载一个运算符,一个类型转换。

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struct nodePointer {
int span;
Node* pointer;
nodePointer() {
this->pointer = nullptr; // 构造函数,将指针初始化为空
}
nodePointer(Node* node) {
this->pointer = node; // 如果提供了指针就用提供的
}
Node* operator->() {
return pointer; // 指针原有的箭头运算符,访问 nodePointer->x 相当于访问 pointer->x
}
operator Node*() const {
return pointer; // 智能指针转换为裸指针,直接返回 pointer 就好了
}
};
注意

不要在所有地方都使用nodePointer,我们只在需要维护跨度的地方使用就好了。
编写代码时一定要注意类型的使用,比如说 unsignedlong 不应乱用之类的。如果错误地更新span,而你滥用了nodePointer,可能就没那么容易找到问题了。

博主因为滥用 unsigned,跳表调了两天多。

需要维护跨度的地方只有跳转用的指针,即 nxt[]

更改后的代码
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struct Node {
int key, level;
struct nodePointer {
int span;
Node* pointer;
nodePointer() {
this->pointer = nullptr; // 构造函数,将指针初始化为空
}
nodePointer(Node* node) {
this->pointer = node; // 如果提供了指针就用提供的
}
Node* operator->() {
return pointer; // 指针原有的箭头运算符,访问 nodePointer->x 相当于访问 pointer->x
}
operator Node*() const {
return pointer; // 智能指针转换为裸指针,直接返回 pointer 就好了
}
};
nodePointer nxt[MAX_LEVEL];
} space[N];
using nodePointer = typename Node::nodePointer; // 为了方便书写,缩一下

重写插入函数

开一个数组记录每一层“上一个节点”的位置(利用跨度)。

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int lst_pos[MAX_LEVEL];

然后在函数开头找位置的时候顺便把它处理出来:

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for (int lev = level - 1; lev > -1; --lev) {
// 更新 lst_pos
if (lev == level - 1)
lst_pos[lev] = 0; // 默认得是 0
else
lst_pos[lev] = lst_pos[lev + 1]; // 否则从上一层继承

while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key) {
lst_pos[lev] += cur->nxt[lev].span; // 更新
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
}
update[lev] = cur;
}

插入的时候计算一下就好了。如图:

然后 level 大于这个节点的指针跨度要加一。

结合代码理解。

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for (int i = 0; i < lev; ++i) {  // 普通链表插入操作
cur->nxt[i] = update[i]->nxt[i];
update[i]->nxt[i].pointer = cur; // 这里不要直接让 nxt[i] = cur,因为后面还要用到 nxt[i].span
cur->nxt[i].span = update[i]->nxt[i].span - (lst_pos[0] - lst_pos[i]); // lst_pos[0] 实际上就是上一个节点的位置
update[i]->nxt[i].span = lst_pos[0] - lst_pos[i] + 1;
}
for (int i = lev; i < level; ++i) ++update[i]->nxt[i].span; // 维护高于新节点的指针的跨度

别忘了 ++length

重写删除函数

把要删掉的指针的 span 加起来赋值给新指针就好了。

insert 一样,别忘记比当前节点高的指针跨度要 -1

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for (int i = 0; i < level; ++i)
if (update[i]->nxt[i] == cur)
update[i]->nxt[i].pointer = cur->nxt[i], update[i]->nxt[i].span += cur->nxt[i].span - 1; // 跨度直接扔给前面那个指针就行了
else
--update[i]->nxt[i].span;

随机访问(按照排名查询)

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int findrk(int k) {
assert(k <= length && k); // k 不满足要求就异常
Node* cur = head;
for (int lev = level - 1; lev > -1 ; --lev)
while (cur->nxt[lev] && k - cur->nxt[lev].span > 0) {
k -= cur->nxt[lev].span;
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
}
return cur->nxt[0]->key;
}

微调

我们可以对 MAX_LEVEL 和选取 level 的概率进行微调。

比如说下面的普通平衡树代码,把选取层数的 \(p\) 改成了 \(\frac 14\),即 (rng() & 1) && (rng() & 1)MAX_LEVEL 设为了 \(7\),经测试这样比较快,在无快读不开 O2 的情况下吊打 Splay/FHQ/Treap,加了快读 O2 之后不知道为啥跑不过我之前写的指针 FHQ 了。另外数组 Treap 始终被吊打。这就是指针带给我的自信

后记

实际上跳表最大的优点是能够顺序访问,这点是很多平衡树做不到的,FHQ Treap 分裂区间之后中序遍历是可以的,但是常数太大。

等我把跳表模板题搞出来,他们都得死!

完整代码

含类型泛化和封装成类。

另外实现了一些输入输出操作,自己看应该能看懂了。

代码
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#include <iostream>
#include <random>
#include <cassert>

#include <cstdlib>

using std::cin;
using std::cout;

std::random_device seed;
std::minstd_rand rng(seed());

#define N 106
#define MAX_LEVEL 32

using i32 = signed int;

template <typename T>
class skiplist {
private:
i32 level;
struct Node {
T key;
i32 level; // 千万的别用 unsigned
struct nodePointer {
i32 span; // 这个也千万他妈的别用 unsigned
Node* pointer;
nodePointer() {
this->pointer = nullptr; // 构造函数,将指针初始化为空
}
nodePointer(Node* node) {
this->pointer = node; // 如果提供了指针就用提供的
}
Node* operator->() {
return pointer; // 指针原有的箭头运算符,访问 nodePointer->x 相当于访问 pointer->x
}
operator Node*() const {
return pointer; // 智能指针转换为裸指针,直接返回 pointer 就好了
}
};
nodePointer nxt[MAX_LEVEL];
} space[N];
i32 bintop;
using nodePointer = typename Node::nodePointer;
Node *head, *tail, *tot, *rubbin[N / 4 * 3];

#define new_node() (bintop ? rubbin[bintop--] : ++tot)
#define del_node(x) (rubbin[++bintop] = (x))

Node* create_node(const i32& level, const T& key) {
Node* res = new_node();
res->level = level;
res->key = key;
return res;
}

i32 random_level() {
i32 res = 1;
while (res < MAX_LEVEL && (rng() & 1)) {
++res;
}
return res;
}

Node* update[MAX_LEVEL];
i32 lst_pos[MAX_LEVEL + 1]; // 每个 level 遍历到的最后一个元素的位置

public:
skiplist() {
tail = nullptr;
level = 0;
head = tot = space;
bintop = 0;
length = 0;
lst_pos[MAX_LEVEL] = 0;
for (i32 i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i)
head->nxt[i] = nullptr, head->nxt[i].span = 0;
}

void insert(const T& key) {
Node* cur = head; // current

for (i32 lev = level - 1; lev > -1; --lev) {
// 更新 lst_pos,这里由于已经把 lst_pos[MAX_LEVEL] 设为 0 了,所以不需要像上文一样特判
lst_pos[lev] = lst_pos[lev + 1];

while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key) {
lst_pos[lev] += cur->nxt[lev].span;
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
}
update[lev] = cur;
}
i32 lev = random_level();
if (lev > level) {
for (i32 i = level; i < lev; ++i) {
update[i] = head;
update[i]->nxt[i].span = length; // 这层都还没有节点,直接从 head 指向尾部(nullptr),跨度为 length
}
level = lev;
}

cur = create_node(lev, key);

for (i32 i = 0; i < lev; ++i) { // 普通链表插入操作
cur->nxt[i] = update[i]->nxt[i];
update[i]->nxt[i].pointer = cur; // 这里不要直接让 nxt[i] = cur,因为后面还要用到 nxt[i].span
cur->nxt[i].span = update[i]->nxt[i].span - (lst_pos[0] - lst_pos[i]); // lst_pos[0] 实际上就是上一个节点的位置
update[i]->nxt[i].span = lst_pos[0] - lst_pos[i] + 1;
}
for (i32 i = lev; i < level; ++i) ++update[i]->nxt[i].span;

++length;
}

void erase(const T& key) {
Node* cur = head; // current

for (i32 lev = level - 1; lev != -1; --lev) {
while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key)
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
update[lev] = cur;
}

cur = cur->nxt[0];
for (i32 i = 0; i < level; ++i)
if (update[i]->nxt[i] == cur)
update[i]->nxt[i].pointer = cur->nxt[i].pointer, update[i]->nxt[i].span += cur->nxt[i].span - 1; // 跨度直接扔给前面那个指针就行了
else
--update[i]->nxt[i].span;

while (level > 1 && !head->nxt[level - 1]) // 更新当前最大层数
--level;
del_node(cur);
--length;
}

bool find(const T& key) {
Node* cur = head;

for (i32 lev = level - 1; lev > -1; --lev)
while (cur->nxt[lev] && cur->nxt[lev]->key < key)
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳

return cur->nxt[0] ? cur->nxt[0]->key == key : false;
}

T findrk(i32 k) {
assert(k <= length && k); // k 不满足要求就异常
Node* cur = head;
for (i32 lev = level - 1; lev > -1 ; --lev)
while (cur->nxt[lev] && k - cur->nxt[lev].span > 0) {
k -= cur->nxt[lev].span;
cur = cur->nxt[lev]; // 存在满足要求的点就跳
}
return cur->nxt[0]->key;
}

i32 length;
};

skiplist<i32> list;

#include <string>

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);

i32 n, tx;
cin >> n;
for (i32 i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> tx;
list.insert(tx);
}
std::string s;
while (cin >> s) {
switch (s[0]) {
case ('l'): cout << list.length << std::endl; break;
case ('i'):
case ('a'):
cin >> tx;
list.insert(tx);
break;
case ('d'):
case ('r'): {
cin >> tx;
if (list.find(tx))
list.erase(tx);
else
cout << "该值不存在" << std::endl;
break;
}
case ('f'):
cin >> tx;
cout << (list.find(tx) ? "存在" : "不存在") << std::endl;
break;
case ('g'):
cin >> tx;
cout << list.findrk(tx) << std::endl;
break;
default: cout << "未知命令" << std::endl;
}
}

return 0;
}
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#include <iostream>
#include <random>

using std::cin;
using std::cout;

using i32 = int;
using i64 = long long;

std::random_device seed;
std::minstd_rand rng(seed());

const i32 MAX_LEVEL = 7;

#define N 100005

struct Node {
i32 level;
i64 key;

struct ptr {
Node* pointer;
i32 span;

ptr() {
pointer = nullptr;
span = 0;
}
ptr(Node* x) {
pointer = x;
span = 0;
}
operator Node*() const& {
return pointer;
}
Node* operator->() const& {
return pointer;
}
} nxt[MAX_LEVEL];

} space[N], *rubbin[N];
Node* tot = space;
Node* head = space;
i32 bintop;

#define new_node() (bintop ? rubbin[bintop--] : ++tot)
#define del_node(x) (rubbin[++bintop] = (x))

i32 level; // global max level now
i32 length;

i32 random_level() {
i32 res = 1;
while (res < MAX_LEVEL && (rng() & 1) && (rng() & 1))
++res;
return res;
}

Node* create_node(const i32& level, const i64& key) {
Node* res = new_node();
res->key = key;
res->level = level;
return res;
}

void insert(const i64& key) {
Node* cur = head;
Node::ptr update[MAX_LEVEL];
i32 lst_pos[MAX_LEVEL + 1];
lst_pos[level] = 0;

for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
lst_pos[l] = lst_pos[l + 1];

while (cur->nxt[l] && cur->nxt[l]->key < key) {
lst_pos[l] += cur->nxt[l].span;
cur = cur->nxt[l];
}
update[l] = cur;
}

i32 lev = random_level();

if (lev > level) {
for (i32 i = level; i < lev; ++i) {
update[i] = head;
update[i]->nxt[i].span = length;
lst_pos[i] = 0;
}
level = lev;
}

cur = create_node(lev, key);

for (i32 i = 0; i < lev; ++i) {
cur->nxt[i] = update[i]->nxt[i];
cur->nxt[i].span = update[i]->nxt[i].span - (lst_pos[0] - lst_pos[i]);
update[i]->nxt[i].pointer = cur;
update[i]->nxt[i].span = lst_pos[0] - lst_pos[i] + 1;
}

for (i32 i = lev; i < level; ++i)
++update[i]->nxt[i].span;

++length;
}

void erase(const i64& key) {
Node* cur = head;
Node::ptr update[MAX_LEVEL];
for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
while (cur->nxt[l] && cur->nxt[l]->key < key)
cur = cur->nxt[l];
update[l] = cur;
}

cur = cur->nxt[0];

for (i32 i = 0; i < level; ++i)
if (update[i]->nxt[i] == cur)
update[i]->nxt[i].span += cur->nxt[i].span - 1, update[i]->nxt[i].pointer = cur->nxt[i].pointer;
else
--update[i]->nxt[i].span;

while (level > 1 && !head->nxt[level - 1])
--level;

del_node(cur);
--length;
}

i32 get_rk(const i64& key) {
Node* cur = head;
i32 res = 0;
for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
while (cur->nxt[l] && cur->nxt[l]->key < key) {
res += cur->nxt[l].span;
cur = cur->nxt[l];
}
}
return res + 1;
}

i64 find_by_rk(i32 k) {
Node* cur = head;
for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
while (cur->nxt[l] && k - cur->nxt[l].span > 0) {
k -= cur->nxt[l].span;
cur = cur->nxt[l];
}
}
return cur->nxt[0]->key;
}

Node* prev(const i64& key) {
Node* cur = head;
for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
while (cur->nxt[l] && cur->nxt[l]->key < key)
cur = cur->nxt[l];
}
return cur;
}

Node* next(const i64& key) {
Node* cur = head;
for (i32 l = level - 1; l > -1; --l) {
while (cur->nxt[l] && cur->nxt[l]->key <= key)
cur = cur->nxt[l];
}
return cur->nxt[0];
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);

i32 n;
i32 op, x;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> op >> x;
switch (op) {
case (1): insert(x); break;
case (2): erase(x); break;
case (3): cout << get_rk(x) << '\n'; break;
case (4): cout << find_by_rk(x) << '\n'; break;
case (5): cout << prev(x)->key << '\n'; break;
case (6): cout << next(x)->key << '\n'; break;
}
// cout.flush();
}

return 0;
}

复杂度分析

空间复杂度

设定了最高 level,所以空间复杂度只能是 \(\Theta(n)\) 的。

时间复杂度

OI Wiki

参考文献

《跳跃表数据结构与算法分析》 纪卓志 George

《跳表》 OI Wiki

推荐阅读

《关于 skip list 的一些扩展想法》